Как Ферма заварил кашу
читать дальше Французский юрист и по совместительству великий математик XVII века Пьер Ферма (1601-1665) выдвинул одно любопытное утверждение из области теории чисел, которое впоследствии получило название Великой (или Большой) теоремы Ферма. Это одна из самых известных и феноменальных математических теорем. Наверно, ажиотаж вокруг нее был бы не так силен, если бы в книге Диофанта Александрийского (III век) "Арифметика", которую Ферма частенько штудировал, делая пометки на ее широких полях, и которую любезно сохранил для потомков его сын Сэмюэл, не была обнаружена примерно следующая запись великого математика:
"Я располагаю весьма поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы его можно было разместить на полях".
Она-то, эта запись, и явилась причиной последующей грандиозной суматохи вокруг теоремы.
Итак, знаменитый ученый заявил, что доказал свою теорему. Давайте же зададимся вопросом: действительно ли он ее доказал или банально соврал? Или есть другие версии, объясняющие появление той записи на полях, не дававшей спокойно спать многим математикам следующих поколений?
История Великой теоремы увлекательна, как приключение во времени. В 1636 году Ферма заявил, что уравнение вида Х^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых числах при показателе степени n>2. Это собственно и есть Большая теорема Ферма. В этой, казалось бы, простой с виду математической формуле Вселенная замаскировала невероятную сложность.
Несколько странным является то, что почему-то теорема опоздала с появлением на свет, поскольку ситуация назрела давно, ведь ее частный случай при n=2 - другая знаменитая математическая формула - теорема Пифагора, возникла на двадцать два столетия раньше. В отличие от теоремы Ферма, теорема Пифагора имеет бесконечное множество целочисленных решений, например, такие пифагоровы треугольники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
Синдром Великой теоремы
Кто только не пытался доказать теорему Ферма. Любой свежеоперившийся студент считал своим долгом приложиться к Великой теореме, но доказать ее все никак никому не удавалось. Сначала не удавалось сто лет. Потом еще сто. Среди математиков стал развиваться массовый синдром: "Как же так? Ферма доказал, а я что, не смогу что ли?" и некоторые из них на этой почве свихнулись в полном смысле этого слова.
Сколько бы теорему не проверяли - она всегда оказывалась верна. Я знал одного энергичного программиста, который был одержим идеей опровергнуть Великую теорему, пытаясь найти хотя бы одно ее решение методом перебора целых чисел с использованием быстродействующего компьютера (в то время чаще именовавшегося ЭВМ). Он верил в успех своего предприятия и любил приговаривать: "Еще немного - и грянет сенсация!". Думаю, что в разных местах нашей планеты имелось немалое количество такого сорта смелых искателей. Ни одного решения он, конечно же, не нашел. И никакие компьютеры, хоть даже со сказочным быстродействием, никогда не смогли бы проверить теорему, ведь все переменные этого уравнения (в том числе и показатели степени) могут возрастать до бесконечности.
Самый виртуозный и плодотворный математик XVIII века Леонард Эйлер, архив записей которого человечество разгребало почти целый век, доказал теорему Ферма для степеней 3 и 4 (вернее, он повторил утерянные доказательства самого Пьера Ферма); его последователь в теории чисел, Лежандр - для степени 5; Дирихле - для степени 7. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.
В начале XX века (1907) состоятельный немецкий любитель математики по фамилии Вольфскель завещал сто тысяч марок тому, кто предъявит полное доказательство теоремы Ферма. Начался ажиотаж. Математические кафедры были завалены тысячами доказательств, но все они, как вы догадываетесь, содержали в себе ошибки. Говорят, что в некоторых германских университетах, в которые в большом количестве поступали "доказательства" теоремы Ферма, были заготовлены бланки примерно такого содержания:
Уважаемый __________________________!
В Вашем доказательстве теоремы Ферма на ____ странице в ____ строчке сверху
в формуле:____________________ обнаружена следующая ошибка:,
которые рассылались незадачливым соискателям премии.
В то время в кругу математиков появилось полупрезрительное прозвище - фермист. Так называли всякого самоуверенного выскочку, которому не хватало знаний, но зато с лихвой хватало амбиций для того, чтобы второпях попробовать силенки в доказательстве Великой теоремы, а затем, не заметив собственных ошибок, гордо хлопнув себя в грудь, громко заявить: "Я первый доказал теорему Ферма!". Каждый фермист, будь он хоть даже десятитысячным по счету, считал себя первым - это и было смешным. Простой внешний вид Великой теоремы так сильно напоминал фермистам легкую добычу, что их абсолютно не смущало, что даже Эйлер с Гауссом не смогли справиться с ней.
Наиболее сильные математики, может быть, в тиши своих кабинетов тоже пробовали осторожно подходить к этой неподъемной штанге, но не говорили об этом вслух, дабы не прослыть фермистами и, таким образом, не навредить своему высокому авторитету.
К тому времени появилось доказательство теоремы для показателя степени n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.
Сейчас, как написано здесь, теорема Ферма доказана. Там еще много всего интересного написано!